P01 Doble integración

P01 Doble integración

  10:15    ZEOMATH

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Para la viga y la carga mostrada, determine la reacción en el apoyo deslizante.

Características de la elástica.
La deflexión es nula en los puntos A y B (x=0 → y=0, x=L → y=0).
La pendiente es nula en el punto B (x=L → y'=0).
Sólo se requiere una coordenada x para determinar la ecuación de momento flector.

Ecuación de momento flector.
Haciendo un corte imaginario a una distancia x del extremo izquierdo:

Los triángulos sombreados en la figura son semejantes al triángulo total de la carga distribuida.

A una distancia x del extremo izquierdo, el valor de la carga distribuida w_x se calcula según:
$$\frac { w_{ x } }{ L-x } =\frac { w_{ 0 } }{ L } \quad →\quad w_{ x }=w_{ 0 }\left( \frac { L-x }{ L }  \right) \\ w_{ x }=w_{ 0 }\left( 1-\frac { x }{ L }  \right) \quad →\quad w_{ x }=w_{ 0 }-\frac { w_{ 0 } }{ L } x$$
Asimismo:
$$\frac { w_{ 0 }-w_{ x } }{ x } =\frac { w_{ 0 } }{ L } \quad →\quad w_{ 0 }-w_{ x }=\frac { w_{ 0 } }{ L } x$$
Dibujando el diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo de la viga, aparece una carga distribuida trapezoidal, la cual puede dividirse en una carga rectangular y una triangular.

Para calcular el momento flector, las cargas distribuidas triangular y rectangular se reemplazan por sus resultantes F₁ y F₂. El módulo de cada resultante es el área bajo la carga distribuida.

$$F_{ 1 }=\left( w_{ 0 }-w_{ x } \right) \frac { x }{ 2 } \quad →\quad F_{ 1 }=\left( \frac { w_{ 0 } }{ L } x \right) \frac { x }{ 2 } \quad →\quad F_{ 1 }=\frac { w_{ 0 } }{ 2L } x^{ 2 }\\ F_{ 2 }=w_{ x }(x)\quad →\quad F_{ 2 }=\left( w_{ 0 }-\frac { w_{ 0 } }{ L } x \right) x\quad →\quad F_{ 2 }=w_{ 0 }x-\frac { w_{ 0 } }{ L } x^{ 2 }$$

$$\sum { M_{ c }=0 } \\ -R_{ A }x+F_{ 1 }\left( \frac { 2x }{ 3 }  \right) +F_{ 2 }\left( \frac { x }{ 2 }  \right) +M=0\\ -R_{ A }x+\frac { w_{ 0 } }{ 2L } x^{ 2 }\left( \frac { 2x }{ 3 }  \right) +\left( w_{ 0 }x-\frac { w_{ 0 } }{ L } x^{ 2 } \right) \left( \frac { x }{ 2 }  \right) +M=0\\ -R_{ A }x+\frac { w_{ 0 } }{ 3L } x^{ 3 }+\frac { w_{ 0 } }{ 2 } x^{ 2 }-\frac { w_{ 0 } }{ 2L } x^{ 3 }+M=0\\ -R_{ A }x-\frac { w_{ 0 } }{ 6L } x^{ 3 }+\frac { w_{ 0 } }{ 2 } x^{ 2 }+M=0\\ M=\frac { w_{ 0 } }{ 6L } x^{ 3 }-\frac { w_{ 0 } }{ 2 } x^2+R_A x$$

Pendiente y curva elástica.

Haciendo M=EIy’’ e integrando dos veces la ecuación del momento flector:

$$EIy''=\frac { w_{ 0 } }{ 6L } x^{ 3 }-\frac { w_{ 0 } }{ 2 } x^{ 2 }+R_{ A }x\\ EIy'=\frac { w_{ 0 } }{ 6L } \left( \frac { x^{ 4 } }{ 4 }  \right) -\frac { w_{ 0 } }{ 2 } \left( \frac { x^{ 3 } }{ 3 }  \right) +R_{ A }\left( \frac { x^{ 2 } }{ 2 }  \right) +C_{ 1 }\\ EIy'=\frac { w_{ 0 } }{ 24L } x^{ 4 }-\frac { w_{ 0 } }{ 6 } x^{ 3 }+\frac { R_{ A } }{ 2 } x^{ 2 }+C_{ 1 }\\ EIy=\frac { w_{ 0 } }{ 24L } \left( \frac { x^{ 5 } }{ 5 }  \right) -\frac { w_{ 0 } }{ 6 } \left( \frac { x^{ 4 } }{ 4 }  \right) +\frac { R_{ A } }{ 2 } \left( \frac { x^{ 3 } }{ 3 }  \right) +C_{ 1 }x+C_{ 2 }\\ EIy=\frac { w_{ 0 } }{ 120L } x^{ 5 }-\frac { w_{ 0 } }{ 24 } x^{ 4 }+\frac { R_{ A } }{ 6 } x^3+C_1 x+C_2$$

Determinación de C₁ y C₂ aplicando condiciones de frontera:

$$x=L\quad →\quad y'=0\\ EIy'=\frac { w_{ 0 } }{ 24L } x^{ 4 }-\frac { w_{ 0 } }{ 6 } x^{ 3 }+\frac { R_{ A } }{ 2 } x^{ 2 }+C_{ 1 }\\ 0=\frac { w_{ 0 } }{ 24L } L^{ 4 }-\frac { w_{ 0 } }{ 6 } L^{ 3 }+\frac { R_{ A } }{ 2 } L^{ 2 }+C_{ 1 }\\ C_{ 1 }=-\frac { R_{ A }L^{ 2 } }{ 2 } +\frac { w_{ 0 }L^{ 3 } }{ 8 }$$

$$x=0\quad →\quad y=0\\ EIy=\frac { w_{ 0 } }{ 120L } x^{ 5 }-\frac { w_{ 0 } }{ 24 } x^{ 4 }+\frac { R_{ A } }{ 6 } x^3+C_1 x+C_2\\ C_2=0$$

Determinación de R_A aplicando condición de frontera:

$$x=L\quad →\quad y=0\\ EIy=\frac { w_{ 0 } }{ 120L } x^{ 5 }-\frac { w_{ 0 } }{ 24 } x^{ 4 }+\frac { R_{ A } }{ 6 } x^{ 3 }+C_{ 1 }x+C_{ 2 }\\ EIy=\frac { w_{ 0 } }{ 120L } x^{ 5 }-\frac { w_{ 0 } }{ 24 } x^{ 4 }+\frac { R_{ A } }{ 6 } x^{ 3 }+\left( -\frac { R_{ A }L^{ 2 } }{ 2 } +\frac { w_{ 0 }L^{ 3 } }{ 8 }  \right) x\\ 0=\frac { w_{ 0 } }{ 120L } L^{ 5 }-\frac { w_{ 0 } }{ 24 } L^{ 4 }+\frac { R_{ A } }{ 6 } L^{ 3 }+\left( -\frac { R_{ A }L^{ 2 } }{ 2 } +\frac { w_{ 0 }L^{ 3 } }{ 8 }  \right) L\\ 0=\frac { w_{ 0 }L^{ 4 } }{ 120 } -\frac { w_{ 0 }L^{ 4 } }{ 24 } +\frac { R_{ A }L^{ 3 } }{ 6 } -\frac { R_{ A }L^{ 3 } }{ 2 } +\frac { w_{ 0 }L^{ 4 } }{ 8 } \\ 0=\frac { 11w_{ 0 }L^{ 4 } }{ 120 } -\frac { R_{ A }L^{ 3 } }{ 3 } \\ R_{ A }=\frac { 11w_{ 0 }L }{ 40 } ↑$$