P02 Doble integración

P02 Doble integración

  19:50    ZEOMATH

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Para la viga y la carga mostradas:

a)  Exprese la magnitud y ubicación de la máxima deflexión en términos de w₀, L, E e I.

b) Calcule el valor de la deflexión máxima, suponiendo que la viga AB es de acero laminado W460x74 y que w₀=60kN/m, L=6m y E=200GPa.

Características de la elástica.

La deflexión es nula en los puntos A y B (x=0 → y=0, x=L → y=0).

Sólo se requiere una coordenada x para determinar la ecuación de momento flector.

Ecuación de momento flector.

La carga distribuida se reemplaza por su resultante para el cálculo de la reacción en el apoyo A, R_A.

$$\sum { M_{ B }=0 } \\ -R_{ A }L+F_{ R }\left( \frac { L }{ 3 }  \right) =0\\ -R_{ A }L+\frac { w_{ 0 }L }{ 2 } \left( \frac { L }{ 3 }  \right) =0\\ R_{ A }=\frac { w_{ 0 }L }{ 6 }$$

Haciendo un corte imaginario a una distancia x del extremo izquierdo:

$$\frac { w_{ x } }{ x } =\frac { w_{ 0 } }{ L } \quad →\quad w_{ x }=\frac { w_{ 0 } }{ L } x$$

$$F_{ x }=w_{ x }\frac { x }{ 2 } \quad →\quad F_{ x }=\left( \frac { w_{ 0 } }{ L } x \right) \frac { x }{ 2 } \\ F_{ x }=\frac { w_{ 0 } }{ 2L } x^2$$

$$\sum { M_{ c } } =0\\ -R_{ A }x+F_{ x }\left( \frac { x }{ 3 }  \right) +M=0\\ -\left( \frac { w_{ 0 }L }{ 6 }  \right) x+\frac { w_{ 0 } }{ 2L } x^{ 2 }\left( \frac { x }{ 3 }  \right) +M=0\\ M=-\frac { w_{ 0 } }{ 6L } x^{ 3 }+\frac { w_{ 0 }L }{ 6 } x$$

Pendiente y curva elástica.

Haciendo M=EIy’’ e integrando dos veces la ecuación del momento flector:

$$EIy''=-\frac { w_{ 0 } }{ 6L } x^{ 3 }+\frac { w_{ 0 }L }{ 6 } x\\ EIy'=-\frac { w_{ 0 } }{ 6L } \left( \frac { x^{ 4 } }{ 4 }  \right) +\frac { w_{ 0 }L }{ 6 } \left( \frac { x^{ 2 } }{ 2 }  \right) +C_{ 1 }\\ EIy'=-\frac { w_{ 0 } }{ 24L } x^{ 4 }+\frac { w_{ 0 }L }{ 12 } x^{ 2 }+C_{ 1 }\\ EIy=-\frac { w_{ 0 } }{ 24L } \left( \frac { x^{ 5 } }{ 5 }  \right) +\frac { w_{ 0 }L }{ 12 } \left( \frac { x^{ 3 } }{ 3 }  \right) +C_{ 1 }x+C_{ 2 }\\ EIy=-\frac { w_{ 0 } }{ 120L } x^{ 5 }+\frac { w_{ 0 }L }{ 36 } x^3+C_1 x+C_2\\ $$

Determinación de C₁ y C₂ aplicando condiciones de frontera.

$$x=0\quad ⟶\quad y=0\\ C_{ 2 }=0$$

$$x=L\quad ⟶\quad y=0\\ EIy=-\frac { w_{ 0 } }{ 120L } x^{ 5 }+\frac { w_{ 0 }L }{ 36 } x^{ 3 }+C_{ 1 }x+C_{ 2 }\\ 0=-\frac { w_{ 0 } }{ 120L } L^{ 5 }+\frac { w_{ 0 }L }{ 36 } L^{ 3 }+C_{ 1 }L\\ 0=-\frac { w_{ 0 }L^{ 4 } }{ 120 } +\frac { w_{ 0 }L^{ 4 } }{ 36 } +C_{ 1 }L\\ 0=\frac { 7w_{ 0 }L^{ 4 } }{ 360 } +C_{ 1 }L\\ C_{ 1 }=-\frac { 7w_{ 0 }L^{ 3 } }{ 360 }$$

La deflexión máxima ocurre cuando la pendiente es cero. Luego, es necesario igualar la ecuación de la pendiente a cero para determinar la ubicación de la máxima deflexión.

$$EIy'=-\frac { w_{ 0 } }{ 24L } x^{ 4 }+\frac { w_{ 0 }L }{ 12 } x^{ 2 }+C_{ 1 }\\ EIy'=-\frac { w_{ 0 } }{ 24L } x^{ 4 }+\frac { w_{ 0 }L }{ 12 } x^{ 2 }-\frac { 7w_{ 0 }L^{ 3 } }{ 360 } \\ 0=-\frac { w_{ 0 } }{ 12 } \left( \frac { 1 }{ 2L } x^{ 4 }-Lx^{ 2 }+\frac { 7L^{ 3 } }{ 30 }  \right) \\ \frac { 1 }{ 2L } x^{ 4 }-Lx^{ 2 }+\frac { 7L^{ 3 } }{ 30 } =0\\ \frac { 15x^{ 4 }-30L^{ 2 }x^{ 2 }+7L^{ 4 } }{ 30L } =0\\ 15x^{ 4 }-30L^{ 2 }x^{ 2 }+7L^{ 4 }=0$$

Haciendo x²=Z para aplicar la fórmula cuadrática:

$$15Z^{ 2 }-30L^{ 2 }Z+7L^{ 4 }=0\\ Z=\frac { 30L^{ 2 }±\sqrt { 900L^{ 4 }-4(15)(7L^{ 4 }) }  }{ 2(15) } \\ Z=\frac { 30L^{ 2 }±\sqrt { 480L^{ 4 } }  }{ 30 } \\ Z=L^{ 2 }±\frac { 4\sqrt { 30 } L^{ 2 } }{ 30 } \\ Z=L^{ 2 }±\sqrt { \frac { 8 }{ 15 }  } L^{ 2 }$$

Cálculo de las raíces de la ecuación:

$$Z=L^{ 2 }\left( 1+\sqrt { \frac { 8 }{ 15 }  }  \right) \\ Z=1.7303L^{ 2 }\\ x^{ 2 }=1.7303L^{ 2 }\\ x=1.3154L$$

Esta raíz se descarta, el valor de x no puede sobrepasar L.

$$Z=L^{ 2 }\left( 1-\sqrt { \frac { 8 }{ 15 }  }  \right) \\ Z=0.2697L^{ 2 }\\ x^{ 2 }=0.2697L^{ 2 }\\ x=0.5193L$$

a) La deflexión máxima se ubica en x=0.5193L. El valor de la misma es:

$$EIy=-\frac { w_{ 0 } }{ 120L } x^{ 5 }+\frac { w_{ 0 }L }{ 36 } x^{ 3 }+C_{ 1 }x+C_{ 2 }\\ EIy=-\frac { w_{ 0 } }{ 120L } x^{ 5 }+\frac { w_{ 0 }L }{ 36 } x^{ 3 }-\frac { 7w_{ 0 }L^{ 3 } }{ 360 } x\\ EIy=-\frac { w_{ 0 } }{ 120L } (0.5193L)^{ 5 }+\frac { w_{ 0 }L }{ 36 } (0.5193L)^{ 3 }-\frac { 7w_{ 0 }L^{ 3 } }{ 360 } (0.5193L)\\ EIy=-\frac { { 0.5193 }^{ 5 } }{ 120 } w_{ 0 }L^{ 4 }+\frac { { 0.5193 }^{ 3 } }{ 36 } w_{ 0 }L^{ 4 }-\frac { 7*0.5193 }{ 360 } w_{ 0 }L^{ 4 }\\ EIy=-0.00652w_{ 0 }L^{ 4 }\\ y=0.00652\frac { w_{ 0 }L^{ 4 } }{ EI } \quad ↓$$


b) La inercia de la sección W460x74 es 333*10⁶ mm⁴. Reemplazando w₀=60kN/m, L=6m y E=200GPa, obtenemos una deflexión máxima:

$$y=-0.00652*\frac { 60*{ 10 }^{ 3 }*{ 6 }^{ 4 } }{ 200*{ 10 }^{ 9 }*333*{ 10 }^{ -6 } } \\ y=-7.61*{ 10 }^{ -3 }m\\ y=7.61mm\quad ↓$$